Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} = 11$

Passaggio 1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 3, x - 9, 1, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x - 3$ è $x - 3$ stesso.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 9$ è $x - 9$ stesso.

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $x - 3, x - 9$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 3) (x - 9)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x - 3) (x - 9)$ ciascun termine in $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ per $(x - 3) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 9 - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x - 9}$ nel numeratore.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $x - 9$ da $(x - 3) (x - 9)$ .

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x - 9 - (x - 3) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x - 9 - x - - 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.5

Espandi $(x - 3) (x - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x (x - 9) - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.6.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 9$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.6.2

Sottrai $3 x$ da $- 9 x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 12 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} - 11 (- 12 x) - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

Moltiplica $- 12$ per $- 11$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica $- 11$ per $27$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Combina i termini opposti in $x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$0 - 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$- 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $- 9$ e $3$ .

$- 6 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $297$ da $- 6$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $(x - 3) (x - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x (x - 9) - 3 (x - 9))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 9$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27)$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3 x$ da $- 9 x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 12 x + 27)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $0$ per $x^{2} - 12 x + 27$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori $a = - 11$ , $b = 132$ e $c = - 303$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 132 \pm \sqrt{132^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 303)}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1.1

Eleva $132$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 4 \cdot - 11 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 11 \cdot - 303$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 + 44 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $44$ per $- 303$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 13332}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.3

Sottrai $13332$ da $17424$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4092}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.4

Riscrivi $4092$ come $2^{2} \cdot 1023$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $4092$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4 (1023)}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1023}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica $\frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$ .

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Passaggio 4.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{66 + \sqrt{1023}}{11}, \frac{66 - \sqrt{1023}}{11}$

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Forma decimale:

$x = 8.90767010 \dots, 3.09232989 \dots$